设 $f$ 是集合 $A\to B$ 的映射，如果存在 $B\to A$ 的映射 $g$，使 $$gf=1_{A},,fg=1_{B} $$则 $f$ 是双射且 $g=f^{-1}$.

设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上线性空间 $V$ 到 $\mathbb{K}$ 上线性空间 $U$ 的映射，如果 $\phi$ 适合以下条件：
（1）$\phi (\alpha +\beta )=\phi (\alpha )+\phi (\beta )$，$\alpha ,\beta \in V$
（2）$\phi (k\alpha )=k\phi (\alpha )$，$k\in \mathbb{K},\alpha \in V$.
则称 $\phi$ 是 $V\to U$ 的线性映射. $V$ 到自身的线性映射称为 $V$ 上的线性变换.
若 $\phi$ 作为映射是单的，则称 $\phi$ 是单线性映射；
若 $\phi$ 作为映射是满的，则称 $\phi$ 是满线性映射；
若 $\phi$ 是双射，则称 $\phi$ 是线性同构，简称同构.
若 $V=U$，则 $V$ 自身上的同构称为自同构.

设 $\phi$ 是 $V\to U$ 的线性映射，则
（1）$\phi (0)=0$；
（2）$\phi (k\alpha +l\beta )=k\phi (\alpha )+l\phi (\beta )$，$\alpha ,\beta \in V,k,l\in \mathbb{K}.$
（3）若 $\phi$ 是同构，则 ${\phi }^{-1}$ 也是线性映射，从而是 $U\to V$ 的同构.

设 $\phi ,\psi$ 是 $\mathbb{K}$ 上线性空间 $V\to U$ 的线性映射，定义 $\phi +\psi$ 为 $V\to U$ 的映射： $$(\varphi+\psi)(\alpha)=\varphi(\alpha)+\psi(\alpha) ,,\alpha\in V$$若 $k\in \mathbb{K}$，定义 $k\phi$ 为 $V\to U$ 的映射：$$(k\varphi)(\alpha)=k\varphi(\alpha),,\alpha\in V. $$

设 $\mathcal{L}(V,U)$ 是 $V\to U$ 的线性映射全体，则在 定义4 下，$\mathcal{L}(V,U)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间. 特别地，$V\to \mathbb{K}$ 的所有线性函数全体构成一个线性空间.

设 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，如果在 $A$ 上定义了一个乘法 $\cdot$ ，使对任意的 $A$ 中元素 $a,b,c$ 及 $\mathbb{K}$ 中元素 $k$，适合下列条件：
（1）乘法结合律：$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$；
（2）存在 $A$ 中元 $e$，使对一切 $a\in A$，均有 $$e\cdot a=a\cdot e=a $$
（3）分配率：$$\begin{align} a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\ (b+c)\cdot a = b\cdot a + c \cdot a \end{align}$$
（4）乘法与数乘的相容性：$$(ka)\cdot b=k(a\cdot b)=a\cdot (kb) $$则称 $A$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的代数，元素 $e$ 称为 $A$ 的恒等元.

设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，则 $\mathcal{L}(V)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的代数.