#flashcards/高等代数/白皮书/第四章

1. 引言

2. 线性映射及其运算

2.1. （例4.1） 设 $V$ 和 $U$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间，$e_1,e_2,\dots ,e_n$ 是 $V$ 的一组基，$u_1,u_2,\dots ,u_n$ 是 $U$ 中 $n$ 个向量，求证：存在唯一的 $V$ 到 $U$ 的线性映射 $\phi$，使得 $\phi (e_i)=u_i$.

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证明思路

• 两个线性空间之间构造一个线性映射，本质上是对基向量产生作用（回忆表示矩阵的定义，线性方程组形式），只要将每个基向量都映射到目标基向量即可，所以 $\phi (e_i)=u_i$ 就已经被定义好了，那么只需要确定其唯一即可
• 若另有 $\psi (e_i)=u_i$，取 $\alpha ={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\cdots +{\lambda }_n{e}_n\in V$，则 $$\begin{align} \psi(\alpha)&=\psi(\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\cdots+\lambda_{n}e_{n}) \&=\lambda_{1}\psi(e_{1})+\lambda_{2}\psi(e_{2})+\cdots+\lambda_{n}\psi(e_{n}) \&=\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\cdots+\lambda_{n}u_{n} \ &=\varphi(\alpha)\end{align}$$
• 应用：给定基和值域的 $n$ 个向量，就可以拿到一个线性映射

2.2. （例4.2） 设线性空间 $V=V_1\oplus V_2$，并且 ${\phi }_1$ 及 ${\phi }_2$ 分别是 $V_1$，$V_2$ 到 $U$ 的线性映射，求证：存在唯一的从 $V$ 到 $U$ 的线性映射 $\phi$，当 $\phi$ 限制在 $V_i$ 上时等于 ${\phi }_i$ .

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证明思路

• 现在手上有两个直和分解，利用 直和的等价命题 5，用直和分解的向量表示唯一，所以可以显示写成 $$\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} $$其中 ${\alpha }_1\in V_1,{\alpha }_2\in V_2$，进一步定义映射 $$\varphi(\alpha)=\varphi(\alpha_{1})+\varphi(\alpha_{2})=\varphi_{1}(\alpha_{1})+\varphi_{2}(\alpha_{2})$$ 那么就满足当 $\phi$ 限制在 $V_i$ 上时等于 ${\phi }_i$ 这个条件，此时只是映射，还需要验证加法和数乘，验证完成后再验证唯一性即可.
• 应用：两个线性空间之间构造一个线性映射，如果手上有一个直和分解和一组"子"映射，那么就能拿到一个唯一的线性映射，并且在限制定义域在子空间内时，还有对应限制的线性映射.

2.3. （例4.3）设 $\phi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证：必存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\psi$，使得 $\phi \psi \phi =\phi$.

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证明思路

• $\phi$ 已经是线性映射，现在不确定是否存在 $\psi$，参考要么选定基向量和值域的，定义 $\psi (u_i)=e_i$...
  • 证明漏洞：
    • 这里的漏洞是维数可能不一致，也就是如果维数一致的话结论可能成立，所以需要一些工具可以刻画不同维数下的映射关系
    • 证明映射相等（绿皮书P184），需证明任取元素，两边映射后的像相等
• 先确认取一个线性映射需要 例4.1 或者 例4.2 的方法，没有提供子空间所以不是第二种，第一种需要先给定一组基和 $m$ 个向量，但此处没有给定一组基，当然基是有其本身的存在性，但是仍然会面临证明漏洞的问题，所以设想如果表示矩阵是相似标准型的话，不止解决了两个线性空间不同维数的问题，还简化了映射关系，所以这里需要 例4.22 的帮助
• 设 $V$ 和 $U$ 的维数分别是 $n$ 和 $m$，分别取两组基，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\},\{f_1,f_2,\cdots ,f_m\}$，由 例4.22，从 $V$ 到 $U$ 存在一个线性映射 $\phi$ 在上述基下的表示矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$，根据表示矩阵的定义，可以看出 $$\begin{align} \varphi(e_{i})=f_{i} &\quad (1\leqslant i\leqslant r) \ \varphi(e_{j})=0 &\quad(r+1\leqslant i\leqslant n)\end{align}$$，从 例4.1 出发，要定义 $U\to V$ 的线性映射，就要在 $U$ 上取基向量，恰好 $f_i$ 就是这组基，我们定义 $$\begin{align} \psi(f_{i})=e_{i} &\quad (1\leqslant i\leqslant r) \ \psi(f_{j})=0 &\quad(r+1\leqslant i\leqslant n)\end{align} $$
• 此时定义好的映射不再需要验证线性性，这是 例4.1 的工作。进一步就有

• 根据证明映射相等的原则，并且上述证明只要存在性，不需要对于任意向量都能满足（但实际上基向量已经能代表全局）

2.4. （例4.4）设数域 $F$ 上的有限维线性空间 $V$，$V^{\prime }$，又 $U$ 是 $V$ 的子空间，$\phi$ 是 $U$ 到 $V^{\prime }$ 的线性映射。求证：必存在 $V$ 到 $V^{\prime }$ 的线性映射 $\psi$，使得 $\psi$ 在 $U$ 上的限制就是 $\phi$ .

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证明思路

• 这题是理解 例4.2 怎么应用，回顾例4.2，当有直和分解时，并且有完整的“子映射”（比如 $V_1\to U$ 对应 ${\phi }_1$，$V_2$ 对应 ${\phi }_2$），那么就可以找到一个完整映射 $\phi$.
• 但是这里并没有完整的直和分解，但是却提供了一个子空间，白皮书的策略是用补空间的方法，即将 $V$ 直和分解为 $$V=U\oplus U^\perp $$根据例4.2，还需要配备两个子空间到值域的线性映射，这里提供了 $$\varphi:U\to V'\quad 0:U^\perp \to V'$$那么线性映射 $\psi$ 存在性得证，也满足了 $\psi$ 在 $U$ 上的限制就是 $\phi$.

2.5. （例4.5）设 $V$，$U$ 是 $F$ 上的有限维线性空间，$\phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证：（1）$\phi$ 是单映射的充要条件是存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\psi$，使 $\psi \phi ={\mathrm{Id}}_V$，这里 ${\mathrm{Id}}_V$ 表示 $V$ 上的恒等映射；（2）$\phi$ 是满映射的充要条件是存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\eta$，使 $\phi \eta ={\mathrm{Id}}_U$，这里 ${\mathrm{Id}}_U$ 表示 $U$ 上的恒等映射.

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证明思路

• 证明（1）：$\phi$ 是单映射的充要条件是存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\psi$，使 $\psi \phi ={\mathrm{Id}}_V$
  • 一次尝试
    • $\mathrm{Ker}\phi =0$ （用于被验证单映射）
    • $\phi (\alpha )=\phi (\beta )⟹\alpha =\beta$，
    • 定义 $\psi (\phi (e_i))=\psi (f_i)=e_i$，思考其合法性，如果像例4.4 沿用 例4.22的相抵标准型来表达 $\phi$ 的表示矩阵，那么可以以以下方式表达 $$\begin{align} \varphi(e_{i})=f_{i} &\quad (1\leqslant i\leqslant r) \ \varphi(e_{j})=0 &\quad(r+1\leqslant i\leqslant n)\end{align} $$但是体现不出单射的性质，也就是说不需要单射也能定义出这个映射
    • 这个映射的根本矛盾是假如 $\phi$ 不是单射，那么 $\phi (\alpha )=\phi (\beta )=0$，而 $\alpha \ne \beta$，意味着存在原像是非零向量使得像为零，那么恒等映射会得到两个不同的原像，这与映射的定义是矛盾的
  • 白皮书策略
    • 设 $\phi$ 是单映射
      • 为了构造此映射，只要考虑清楚能把 $\phi$ 的像集映射回原像集即可，也就是 $$ \psi:\mathrm{Im},\varphi\to V$$但是 $\mathrm{Im}\phi$ 不一定等同于 $U$ （若直接定义 $\psi$ 会出现在 $U$ 中找不到 $\phi$ 的原像的问题，不满足 $V$ 的恒等映射），此时有一个子空间，就可以利用补空间的方法做直和分解，也就是 $U=\mathrm{Im}\phi \oplus U^0$，此时只要有逆映射把 $\mathrm{Im}\phi \to V$ 即可
      • 为了找到逆映射，只要存在一个映射 ${\phi }^{\prime }:V\to \mathrm{Im}\phi$ 是双射即可，首先定义出此映射 ${\phi }^{\prime }$ 与 $\phi$ 有相同的映射法则，那么单射和线性性被继承下来，根据满射定义，${\phi }^{\prime }$ 也是满射，从而 ${\phi }^{\prime }$ 是线性同构，从而存在逆映射 ${\phi }^{\prime -1}:\mathrm{Im}\phi \to V$，并且定义 $\eta :U^0\to 0$
      • 回顾 例4.2，有直和分解，有限制的“子”映射，就可以得到一个线性映射：
        • 定义 $\psi$ 在 $\mathrm{Im}\phi$ 下的限制为 ${\phi }^{\prime -1}$，在 $U^0$ 下的限制为零线性映射 $\eta$，则线性映射 $$\psi:U\to V$$存在
    • 设 $\psi \phi ={\mathrm{Id}}_V$，目的是证明 $\mathrm{Ker}\phi =0$
      • 设 $v\in \mathrm{Ker}\phi$，$\psi (\phi (v))=\psi (0)=0$，由于$\psi \phi ={\mathrm{Id}}_V$，因此 $v=0$. 因此 $\mathrm{Ker}\phi$ 只能是零子空间.
• 证明（2）：$\phi$ 是满映射的充要条件是存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\eta$，使 $\phi \eta ={\mathrm{Id}}_U$
  • 一次尝试：
    • $\phi$ 是满射，即 $\mathrm{Im}\phi =U$，但是可能有 $V$ 中有非零元素映射到 $0$
  • 白皮书策略：
    • 设 $\phi$ 是满射
      • 若从 例4.1 的方法来看，只要给定 $V$ 的一组基和 $U$ 中的一组向量，就可以找到唯一的线性映射映射到 $U$
      • 为了给 $\eta$ 凑出 一组基和一组向量，需要借助 $\phi$ 的满性，将 $V$ 中 $m$ 个向量 $v_1,v_2,\cdots ,v_m$ 映射到 $U$ 的一组基 $f_1,f_2,\cdots ,f_m$ 当中，即 $\phi (v_i)=f_i$
      • 这样立刻就可以找到线性映射 $\eta (f_i)=v_i$
      • 验证：任取 $u\in U$， $$\begin{align} \varphi \eta(u)&=\varphi(b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}+\cdots+b_{m}f_{m}) \ &=b_{1}\varphi(v_{1})+b_{2}\varphi(v_{2})+\cdots+b_{m}\varphi(v_{m}) \&=b_{1}f_{1}+b_{2}f_{2}+\cdots+b_{m}f_{m} \&=u\end{align}$$结论成立
    • 设 $\phi \eta ={\mathrm{Id}}_U$，任取 $u\in U$（像），${\mathrm{Id}}_U(u)=u\in U$，都能找到原像. 结论成立.

2.6. （例4.6）设 $V$，$U$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间，$\phi$, $\psi :V\to U$ 是两个线性映射，证明：存在 $U$ 上的线性变换 $\xi$，使得 $\psi =\xi \phi$ 成立的充要条件是 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq \mathrm{Ker}\psi$.

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证明思路

• 假设 $\psi =\xi \phi$，任取 $v\in \mathrm{Ker}\phi$，$\phi (v)=0$，$\xi (\phi (v))=\psi (v)=0$，从而 $v\in \mathrm{Ker}\psi$，结论成立
• 假设 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq \mathrm{Ker}\psi$
  • 为验证 $U$ 上存在 $\xi$ 这样的线性变换与 $\phi$ 复合后是相等，可能涉及两种找线性映射的方法
  • 任取 $\alpha ={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\cdots +{\lambda }_n{e}_n\in V$
    • $\begin{array}{rl}\psi (\alpha )& ={\lambda }_1\psi (e_1)+{\lambda }_2\psi (e_2)+\cdots +{\lambda }_n\psi (e_n)\\ & ={\lambda }_1{u}_1+{\lambda }_2{u}_2+\cdots +{\lambda }_n{u}_n\end{array}$
    • $\phi (\alpha )={\lambda }_1\phi (e_1)+{\lambda }_2\phi (e_2)+\cdots +{\lambda }_n\phi (e_n)$
    • 也就是如果有一个映射 $\xi$，可以将 $u_i\mapsto \phi (e_i)$，结论就成立了，但是以 例4.1 的方法来看，暂时还没法确保由 $\phi$ 映射出来的向量就是 $U$ 中的基向量，那 $\xi$ 的存在性无法得到保证
  • 白皮书策略
    • 书中介绍的方法实际上是延续了上述推理，通过 例4.23 的证明方法解决了怎么从像空间里找到一组基，设 $$\text{dim},V =n,,\text{dim}, U=m,,\text{dim}, \mathrm{Ker},\varphi=n-r.$$
    • 设 $\phi (e_1),\phi (e_2),\cdots ,\phi (e_r)$ 是 $\mathrm{Im}\phi$ 的一组基，扩张成 $U$ 的一组基（这种扩张动作本质是对基向量存在性的进一步提取）：$$\varphi(e_{1}),\varphi(e_{2}),\cdots,\varphi(e_{r}),g_{r+1},\cdots,g_{m} $$
    • 为了平行对应 $\psi$ 的映射法则，将上述前 $r$ 个向量在 $\xi$ 的作用下映射到 $\psi (e_i)$ ，但是还没完，$\psi$ 本身的维度不确定，所以需要利用 $\mathrm{Ker}\phi \subseteq \mathrm{Ker}\psi$ 的条件，说明 $\mathrm{Ker}\phi$ 的向量在 $\psi$ 的作用下也是 $0$，这就意味着我们需要回到 $\mathrm{Im}\phi$ 的一组基搭建的前一步工作，在 $V$ 中找到 $\mathrm{Ker}\phi$ 的一组基 $e_{r+1},\cdots ,e_n$，$\psi (e_{r+1})=\cdots =\psi (e_n)=0$，这样即可定义 $$\xi(\varphi(e_{i}))=\psi(e_{i}),,(1\leqslant i\leqslant n).$$

2.7. （例4.7）设 $V$, $U$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间，$\phi :V\to U$ 和 $\psi :V\to U$ 是两个线性映射，证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\xi$，使得 $\psi =\phi \xi$ 成立的充要条件是 $\text{Im}\psi \subseteq \text{Im}\phi$.

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证明思路

• 假设存在 $V$ 上线性变换 $\xi$，使得 $\psi =\phi \xi$
  • 任取 $v\in V$，$\psi (v)=\phi (\xi (v))\in \mathrm{Im}\phi$，从而 $\mathrm{Im}\psi \subseteq \mathrm{Im}\phi$.
• 假设 $\mathrm{Im}\psi \subseteq \mathrm{Im}\phi$
  • 立足于线性变换的构造：（$V$ 的一组基到 $V$ 的一组目标向量）
    • 取 $V$ 的一组基 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$，如何找到 $V$ 中对应的一组向量？
      • 一个小猜想：若 $\xi (e_i)=e_i$，那么会导致 $\psi =\phi$，这就是同一个线性映射，不是题意说明的两个
      • 进一步解释 $\mathrm{Im}\psi \subseteq \mathrm{Im}\phi$，$\psi (e_i)\in \mathrm{Im}\psi \subseteq \mathrm{Im}\phi$
        • 存在 $f_i\in V$，使得 $\phi (f_i)=\psi (e_i)$，发现 $f_i$ 可以作为目标向量
        • 定义 $\xi (e_i)=f_i(1⩽i⩽n)$，验证任一基向量 $e_i$，都有 $$\psi(e_{i})=\varphi(\xi(e_{i})),(1\leqslant i\leqslant n) $$

2.8. （例4.8）设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\alpha \in V$. 若 ${\phi }^{m-1}(\alpha )\ne 0$，而 ${\phi }^m(\alpha )=0$，求证：$\alpha ,\phi (\alpha ),{\phi }^2(\alpha ),\cdots ,{\phi }^{m-1}(\alpha )$ 线性无关.

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证明思路

• 一次尝试（思路正确）
  • 设 ${\lambda }_1\alpha +{\lambda }_2\phi (\alpha )+{\lambda }_3{\phi }^2(\alpha )+\cdots +{\lambda }_m{\phi }^{m-1}(\alpha )=0$
  • 两侧可以作用 ${\phi }^m$ 会导致全部为 $0$ ，所以两侧作用的次数应该逐渐降低
    • ${\lambda }_1{\phi }^{m-1}(\alpha )+{\lambda }_2{\phi }^m(\alpha )+{\lambda }_3{\phi }^{m+1}(\alpha )+\cdots +{\lambda }_m{\phi }^{2m}(\alpha )=0$
      • ${\lambda }_1{\phi }^{m-1}(\alpha )=0$，由于 ${\phi }^{m-1}(\alpha )\ne 0$，所以 ${\lambda }_1=0$
      • 重复 $m-1$ 次，最后一次不需要作用

2.9. （例4.9）设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\phi$ 是 $V$ 上的幂零线性变换，满足 $r(\phi )=n-1$. 求证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为$$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{pmatrix}.$$

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证明思路

• 幂零线性变换是什么？
  • 存在正整数 $k$，使得 ${\phi }^k=0$.
  • 应用方式：将正整数 $k$ 确定下来，设为 $m$.
  • 结合 例4.8 的结论：说明幂零线性变换的 $m$ 个不同次数的 $\phi$ 作用下的向量线性无关，说明 $m⩽\text{dim}V=n$
  • 结合 例3.66 ，用线性同构的原理将 ${\phi }^2$ 的秩传到矩阵 $\text{r}(AB)⩾\text{r}(A)+\text{r}(B)-n$，即 $$\text{r}(\varphi^2)\geqslant 2\text{r}(\varphi)-n=n-2$$
    • 重复此步骤，比如像 $\text{r}({\phi }^3)⩾\text{r}({\phi }^2)+\text{r}(\phi )-n⩾n-3$
    • 得到 $0=\text{r}({\phi }^m)⩾n-m$，从而 $m⩾n$，结合 $m⩽\text{dim}V=n$，得到 $m=n$
  • 确认由幂零线性变换所展开的一组线性无关的向量恰好秩为 $n$，从而 $$ \alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{m-1}(\alpha)$$是 $V$ 的一组基，其表示矩阵就是 $A$ 的形状（在验证表示矩阵定义时记得要在这组基向量基础上再作用一次 $\phi$）.

3. 线性同构

线性同构刻画了不同线性空间之间的相同本质，即同构的线性空间具有相同的线性结构（或从线性结构的观点来看没有任何区别）。要证明线性映射 $\phi :V\to U$ 是线性同构，通常一方面需要验证 $\phi$ 是单映射（或等价地验证 $\text{Ker}\phi =0$），另一方面需要验证 $\phi$ 是满映射（或等价地验证 $\text{Im}\phi =U$）。但若已知前后两个线性空间的维数相等，则由线性映射的维数公式容易证明，$\phi$ 是线性同构当且仅当 $\phi$ 是单映射，也当且仅当 $\phi$ 是满映射，从而只需验证 $\phi$ 是单映射或满映射即可得到 $\phi$ 是线性同构。

3.1. （例4.10）设 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中 $n+1$ 个不同的数，$V$ 是 $\mathbb{F}$ 上次数不超过 $n$ 的多项式全体组成的线性空间．设 $\phi$ 是 $V$ 到 $n+1$ 维行向量空间 $U$ 的映射：$$\varphi(f) = (f(a_{0}), f(a_{1}), \cdots, f(a_{n})).$$求证：$\phi$ 是线性同构．

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证明思路

• 回顾 坐标向量(线性同构)，两个线性空间维数相同就是同构，但是这个是两个线性空间存在一个线性同构，不是必然性，这里的任务就是验证映射 $\phi$ 是不是线性映射，并且在维数相同的情形下，像空间与核空间是刚好错开的，这就说明只要证明满射（像空间充满值域），或者证明单射（核空间只剩零子空间）.
• 验证单射 $⟺$ 验证 $\mathrm{\forall }f\in \mathrm{Ker}\phi$ 是否会得出 $\mathrm{Ker}\phi =0$
  • $\phi (f)=(f(a_0),f(a_1),\cdots ,f(a_n))=(0,0,\cdots ,0)$
    • $f(a_i)=0(1⩽i⩽n)$
    • 此处代入了 $n+1$ 个数，由 代数基本定理和推论 ，最多只有 $n$ 个复根，否则 $f$ 只能是零多项式，从而 $\mathrm{Ker}\phi =0$
• 验证线性同构，单射，两个线性空间维数相同

3.2. （例4.11，Lagrange 插值公式）设 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中 $n+1$ 个不同的数，$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ 是 $\mathbb{F}$ 中任意 $n+1$ 个数，求证：必存在 $\mathbb{F}$ 上次数不超过 $n$ 的多项式 $f(x)$，使得 $f(a_i)=b_i$ $(0\le i\le n)$，并将 $f(x)$ 构造出来.

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证明思路

• 由于多项式有点抽象，所以对比起白皮书的说明，还要写出具体形式
• 解释 例4.10 ，$\phi$ 是 $V\to U$ 的线性同构，也就是 $$\begin{align} \varphi(f(x))&=(f(a_{0}),f(a_{1}),\cdots,f(a_{n})) \&=(b_{0},b_{1},\cdots,b_{n}) \end{align}$$意味着 $\phi$ 的作用就是对任意一个多项式以此代入 $n+1$ 个不同的数，得到的结果逐一作为像向量的分量
  • 存在性是由任给的 $n+1$ 个数 $b_0,b_1,\cdots ,b_n$，都能从 $\phi$ 中找到原像，所以剩下的任务是构造出 $f(x)$
• 简化，设 $n=2$
  • 设 $e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$ 是 $\mathbb{F}$ 上 $3$ 维行向量空间 $V$ 的标准基. 先构造 $f_i(x)(i=0,1,2)$，使 $\phi (f_i)=e_{i+1}$
    • 令 $f_1(x)={\displaystyle \frac{(x-a_0)(x-a_2)}{(a_1-a_0)(a_1-a_2)}}$，则 $f_i(a_i)=1$，$f_i(a_j)=0(j\ne i)$
    • 再令 $f(x)=b_0{f}_0(x)+b_1{f}_1(x)+b_2{f}_2(x)$
    • 验证 $f(a_i)=b_i$ 成立.

要证明某个有限维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 是自同构 (可逆线性变换)，通常有 $3$ 种方法：

1. 可尝试直接构造出 $\phi$ 的逆变换。
2. 证明 $\phi$ 是单映射或者 $\phi$ 是满映射 (两者只需其一)。
3. 用矩阵方法，即选取 $V$ 的一组基，设 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵为 $A$，设法证明 $A$ 是可逆矩阵。

3.3. （例4.12）设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若存在正整数 $n$ 以及 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{F}$，使得$$\varphi^{n} + a_{1}\varphi^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\varphi + a_{n}I_{V} = 0$$其中 $I_V$ 表示恒等变换并且 $a_n\ne 0$，求证：$\phi$ 是 $V$ 上的自同构.

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证明思路

• 线性变换意味着映射前后空间维数相等，从而只需要证明单射或者满性即可
  • 尝试证明单射：任取 $v\in \mathrm{Ker}\phi$，
    • ${\phi }^n(v)+a_1{\phi }^{n-1}(v)+\cdots +a_{n-1}\phi (v)+a_{n}v=0$
      • $a_n\ne 0⟹v=0$，从而 $\mathrm{Ker}\phi =0$，证明完成
• 白皮书策略（构造逆映射）
  • 条件提供的表达式中隐含 $I_V$，移项和除掉系数，并摘掉一层 $\phi$ 即可

3.4. （例4.13）设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\phi$ 是可逆变换的充要条件是 $\phi$ 将 $V$ 的基变为基.

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证明思路

• 设 $\phi$ 是可逆变换 $⟺$ $\phi$ 是自同构
  • $\phi$ 满射，从而 $\phi$ 可以将 $V$ 的基映射到 $V$ 的基.
• 设 $\phi$ 将 $V$ 的基变为基
  • 设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 和 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 是 $V$ 的两组基，设 $\phi (e_i)=f_i$
    • 从而 $\phi$ 是满射，并且这是线性变换，从而 $\phi$ 是自同构，是可逆变换.
  • 基变换可以联想到过渡矩阵，过渡矩阵一定是可逆的
    • 回顾 过渡矩阵 定义：$$(f_{1},f_{2},\cdots,f_{n})=(e_{1},e_{2},\cdots,e_{n})P $$
    • 回顾 表示矩阵 定义： $$(\varphi(e_{1}),\varphi(e_{2}),\cdots,\varphi(e_{n}))=(e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}) A$$
    • 由于 $\phi (e_i)=f_i$，从而 $A=P$，即 $\phi$ 在 $e_1,e_2,\cdots ,e_n$ 下的表示矩阵可逆，由线性变换全体 $\mathcal{L}(V)$ 与 $M_{n\times n}(\mathbb{K})$ 之间存在线性同构 $T$，因此 $T(\phi )=A$ 的原像 $\phi$ 也是线性同构.

3.5. （例4.14）设 $U_1$, $U_2$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，假设它们维数相同. 求证：存在 $V$ 上的可逆线性变换 $\phi$，使得 $U_2=\phi (U_1)$.

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证明思路

• 策略：无，展开条件分析
  • 设 $\text{dim}{U}_1=r=\text{dim}{U}_2$ ，$e_1,e_2,\cdots ,e_r$ 是 $U_1$ 的一组基，$f_1,f_2,\cdots ,f_r$ 是 $U_2$ 的一组基，设 $\phi (e_i)=f_i$
    • 由于 $U_1,U_2$ 维数相同，并且该映射也是满射，从而这是自同构
    • 此证明存在矛盾：线性变换的定义没有定义其余基向量，也就是 $\phi$ 对 $U_1$ 的作用了之外还有 $V$ 中其余基向量
  • 设 $e_1,e_2,\cdots ,e_{r,}{e}_{r+1},\cdots ,e_n$ 是扩充后的 $V$ 的一组基向量，$f_1,f_2,\cdots ,f_r,f_{r+1},\cdots ,f_n$ 也是扩充后的 $V$ 的一组基向量，定义线性变换 $\phi (e_i)=f_i$
    • 例4.1 定义线性映射的要求是
      • 提供一组基向量
      • 提供对应的目标向量（恰好还是一组基向量）
    • 例4.13 说明基映射到基说明映射本身就是可逆线性变换

3.6. （例4.15）设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若对 $V$ 中任一向量 $\alpha$，总存在正整数 $m$（$m$ 可能和 $\alpha$ 有关），使得 ${\phi }^m(\alpha )=0$. 求证：$I_V-\phi$ 是自同构.

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证明思路

• $\phi$ 是幂零线性变换吗？
  • 解读 $m$ 可能和 $\alpha$ 有关，从而 ${\phi }^{m_i}(e_i)=0$，取各个 $m_i$ 中最大的作为 $m$，给定基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，任取 $v\in V$，则 ${\phi }^m(e_i)=0$，从而 ${\phi }^m$ 是幂零线性变换
  • 要证明 $I_V-\phi$ 是自同构，那么找出其逆矩阵即可，注意到 $I_V-{\phi }^m=I_V$，只要将 $I_V-\phi$ 整除 $I_V-{\phi }^m$（不能用 $I_V-\phi$ 整除 $I_V$ 因为次数高）
  • 因此 $I_V-\phi$ 是自同构
• 证法二，证明 $I_V-\phi$ 是单映射
  • 任取 $\beta \in \mathrm{Ker}(I_V-\phi )$，$(I_V-\phi )(\beta )⟹\beta =\phi (\beta )$
    • 利用条件 ${\phi }^m(\beta )={\phi }^{m-1}(\phi (\beta ))={\phi }^{m-1}(\beta )=\cdots =0.$
      • 说明 $\mathrm{Ker}(I_V-\phi )=0$，从而是自同构.

3.7. （例4.16）设 $V=M_n(\mathbb{F})$ 是 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 阶矩阵全体组成的线性空间，$A$, $B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，定义 $V$ 上的变换：$\phi (X)=AXB$. 求证：$\phi$ 是 $V$ 上的线性变换，$\phi$ 是可逆变换的充要条件是 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵.

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证明思路

• 验证线性性：$\phi (kX+lY)=A(kX+lY)B=kAXB+lAYB=l\phi (X)+l\phi (Y)$
• 充分性：设 $A$，$B$ 都是可逆矩阵，则定义 $\psi (X)=A^{-1}X{B}^{-1}$，此时 $\psi \phi (X)=A^{-1}AXB{B}^{-1}=X$ 是恒等映射，从而 $\phi$ 是可逆变换
• 必要性：设 $\phi$ 是可逆变换，并假设 $A$ 或 $B$ 是不可逆矩阵，尝试导出 $\phi$ 不是可逆变换的结论
  • 证明 $\phi$ 不是单射：假设 $A$ 是不可逆矩阵，则存在可逆矩阵 $P,Q$ 使得 $PAQ=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$，再设 $C=\left(\begin{array}{cc}O& O\\ O& I_{n-r}\end{array}\right)$，则 $PAQC=O$，$P$ 可逆所以剔除后 $AQC=O$ ，因此 $X=QC\ne O$ （$Q$ 是可逆矩阵，而 $C\ne O$ ，因此 $QC\ne O$）
  • 从而 $\phi (QC)=AQCB=O$，即 $\mathrm{Ker}\phi \ne 0$，因此 $\phi$ 不是单映射，从而不是可逆变换.

3.8. （例4.17）无限维线性空间

3.9. （例4.18）无限维线性空间

3.10. （例4.19）无限维线性空间

4. 线性映射与矩阵

4.1. （例4.20，交换图，线性同构结论）

4.2. （例4.21）设 $\phi$ 是线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 和 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 是 $V$ 的两组基，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 到 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 的过渡矩阵为 $P$。$\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 和 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 是 $U$ 的两组基，$\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 到 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 的过渡矩阵为 $Q$。又设 $\phi$ 在基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 和基 $\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 下的表示矩阵为 $A$，在基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 和基 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 下的表示矩阵为 $B$。求证：$$ B = Q^{-1} A P $$

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证明思路

• 以形式行向量形式解析每个条件的定义
  • $(\phi (e_1),\phi (e_2),\cdots ,\phi (e_n))=(g_1,g_2,\cdots ,g_m)A$
  • $(\phi (f_1),\phi (f_2),\cdots ,\phi (f_n))=(h_1,h_2,\cdots ,h_m)B$
  • $(f_1,f_2,\cdots ,f_n)=(e_1,e_2,\cdots ,e_n)P$
  • $(h_1,h_2,\cdots ,h_m)=(g_1,g_2,\cdots ,g_m)Q$
• 但是这种形式行向量展开的手法没法做替换，只能以坐标向量的表达形式来推动替换
• 设 $\alpha ={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\cdots +{\lambda }_n{e}_n$，在基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 下的坐标向量为 $({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$
  • 回顾 过渡矩阵 的定义，在从基 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 到基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 下的坐标向量是 $P^{-1}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$
  • 回顾 表示矩阵 的定义，在给定基 $\{f_1,f_2,\cdots ,f_n\}$ 和 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 下的表示矩阵为 $B$，则坐标向量为 $B{P}^{-1}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$
  • 继续在 $U$ 中过渡，从基 $\{h_1,h_2,\cdots ,h_m\}$ 到 $\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 的过渡矩阵为 $Q^{-1}$，则坐标向量为 $QB{P}^{-1}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$
  • 若直接从 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 映射到 $\{g_1,g_2,\cdots ,g_m\}$ 的表示矩阵为 $A$ ，即坐标向量是 $A({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$，即 $$\begin{align} Q BP^{-1}&=A \ B&=Q^{-1}AP.\end{align}$$

4.3. （例4.22）设 $\phi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证：必存在 $V$ 和 $U$ 的两组基，使线性映射 $\phi$ 在两组基下的表示矩阵为 $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$.

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证明思路

• 相抵标准型理论说的是存在可逆矩阵 $P,Q$，使得 $Q^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)$，
• 而 $\phi$ 在原来两组基下的表示矩阵是 $A$ ，此时构想一个立体的交换图，也就是原交换图的纵深是不同基，参考 相抵标准型结合交换图

4.4. （例4.23）设 $\phi :V\to U$ 为线性映射，求证：$$\dim \mathrm{Ker},\varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi = \dim V.$$

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证明思路

• 绿皮书的证明方法是用交换图，将向量空间的秩通过线性同构回传给抽象线性空间，而本例题的方法是用线性扩张定理，并且证明方法提供了利用像空间与核空间来帮助找到 $U$ 中的一组基，这可以帮助解决 例4.6 中的 $U$ 找不到基向量从而无法构造线性变换的问题.
• 设 $\mathrm{Ker}\phi =k$，$\text{dim}V=n$，目标结论：证明 $\text{dim}\mathrm{Im}\phi =n-k$
  • 取 $\mathrm{Ker}\phi$ 的一组基 $e_1,e_2,\cdots ,e_k$
    • 扩张成 $V$ 的一组基 $e_1,e_2,\cdots ,e_k,e_{k+1},\cdots ,e_n$
    • 任取 $\alpha \in V$，作用 $\phi$
      • $\phi (\alpha )=c_{k+1}\phi (e_{k+1})+\cdots +c_n\phi (e_n)$
        • 说明了 $\mathrm{Im}\phi$ 中的任意向量都是上述线性组合，对于线性空间 $\mathrm{Im}\phi$ 而言（目标本身就是证明 $\text{dim}\mathrm{Im}\phi$，所以不能直接用 例3.24 的结论，还需要证明线性无关）
          • 设 ${\lambda }_{k+1}\phi (e_{k+1})+\cdots +{\lambda }_n\phi (e_n)=0$
            • $\phi ({\lambda }_{k+1}{e}_{k+1}+\cdots +{\lambda }_n{e}_n)=0$，即此元素属于 $\mathrm{Ker}\phi$
            • 取 $\mathrm{Ker}\phi$ 原基的任一向量，得到线性组合：${\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\cdots +{\lambda }_k{e}_k=0$
            • 两式移项，根据扩张的基也线性无关，得 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n=0$，从而 $\phi (e_{k+1}),\phi (e_{k+2}),\cdots ,\phi (e_n)$ 是 $\mathrm{Im}\phi$ 的一组基. 从而结论成立.

4.5. （例4.24）设 $\phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 到 $m$ 维线性空间 $U$ 的线性映射，$\phi$ 在给定基下的表示矩阵为 $A$. 求证：$\phi$ 是满映射的充要条件是 $\mathrm{r}(A)=m$，$\phi$ 是单映射的充要条件是 $\mathrm{r}(A)=n$.

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证明思路

• 设 $\phi$ 是满映射
  • $\mathrm{Im}\phi =U$，$\text{r}(\mathrm{Im}\phi )=\text{r}(U)=m$，
  • 由线性同构 $T:\mathcal{L}(V,U)\to M_{m\times n}(\mathbb{K})$ ，$\text{r}(A)=\text{r}(\phi )=m$.
• 设 $\phi$ 是单映射
  • $\mathrm{Ker}\phi =0$，$$\text{dim}, V -\text{dim}, \mathrm{Ker},\varphi=\text{dim}, \mathrm{Im}, \varphi=\text{dim}, A=n$$

4.6. （例4.3，代数方法）设 $\phi$ 是有限维线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证：必存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\psi$，使得 $\psi \phi \psi =\phi$.

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证明思路

• 取定两组基，设 $A$ 是 $\phi$ 在这两组基下的表示矩阵
• 由 例3.93，存在 $B$ 使得 $ABA=A$，如此一来可以通过定义 $B$ 就是 $\psi$ 在给定基下的表示矩阵，它适合 $\psi \phi \psi =\phi$.

4.7. （例4.5，代数方法）设 $V$，$U$ 是 $F$ 上的有限维线性空间，$\phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的线性映射，求证：（1）$\phi$ 是单映射的充要条件是存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\psi$，使 $\psi \phi ={\mathrm{Id}}_V$，这里 ${\mathrm{Id}}_V$ 表示 $V$ 上的恒等映射；（2）$\phi$ 是满映射的充要条件是存在 $U$ 到 $V$ 的线性映射 $\eta$，使 $\phi \eta ={\mathrm{Id}}_U$，这里 ${\mathrm{Id}}_U$ 表示 $U$ 上的恒等映射.

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证明思路

• 设 $\phi$ 是单映射，$A$ 是给定基下的表示矩阵
  • [[#4.5. （例4.24）设 $ varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 到 $m$ 维线性空间 $U$ 的线性映射，$ varphi$ 在给定基下的表示矩阵为 $A$. 求证：$ varphi$ 是满映射的充要条件是 $ mathrm{r}(A) = m$，$ varphi$ 是单映射的充要条件是 $ mathrm{r}(A) = n$.|\mathrm{例}4.24]]：$A$ 是列满秩
  • 例3.91 ：存在 $B$ 使得 $BA=I_r$
  • 定义 $B$ 是 $\psi :U\to V$ 在给定基下的表示矩阵
• 设 $\phi$ 是满映射，$A$ 是给定基下的表示矩阵
  • [[#4.5. （例4.24）设 $ varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 到 $m$ 维线性空间 $U$ 的线性映射，$ varphi$ 在给定基下的表示矩阵为 $A$. 求证：$ varphi$ 是满映射的充要条件是 $ mathrm{r}(A) = m$，$ varphi$ 是单映射的充要条件是 $ mathrm{r}(A) = n$.|\mathrm{例}4.24]]：$A$ 是行满秩
  • 例3.91 ：存在 $C$ 使得 $AC=I_r$
  • 定义 $C$ 是 $\eta :U\to V$ 在给定基下的表示矩阵

4.8. （例4.25）设 $\phi :V\to U$ 为线性映射且 $\phi$ 的秩为 $r$, 证明: 存在 $r$ 个秩为 $1$ 的线性映射 ${\phi }_i:V\to U$ ($1\le i\le r$), 使得 $\phi ={\phi }_1+\cdots +{\phi }_r$.

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证明思路

• 思路介绍：转成代数问题，利用相抵标准型靠近结论
  • 设 $A$ 是 $\phi$ 在给定基下的表示矩阵
    • 根据相抵标准型理论，存在可逆矩阵 $P,Q$，使得 $A=P\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)Q$，将 $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& O\\ O& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& O\\ O& O\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{cc}O& O\\ O& 1\end{array}\right)$ ，令右侧矩阵分别为 $A_i$，从而 $A=P{A}_{1}Q+\cdots +P{A}_{r}Q$
    • 根据秩乘积的不等式，$\text{r}(P{A}_{i}Q)=1(1⩽i⩽r)$
    • 由于线性映射与矩阵一一对应，从而令 ${\phi }_i$ 在给定基下的表示矩阵为 $A_i$，结论成立

4.9. （例4.26）设 $\phi$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换, 若它在 $V$ 的任一组基下的表示矩阵都相同，求证: $\phi$ 是纯量变换, 即存在常数 $k$, 使得 $\phi (\alpha )=k\alpha$ 对一切 $\alpha \in V$ 都成立.

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证明思路

• 解释条件
  • 任意一组基下的表示矩阵都相同，表示矩阵之间是相似关系，所以是相似关系下矩阵保持不变，即存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $A=P^{-1}AP$
  • 对上式移项，得到 $PA=AP$，由 例2.11 可知，可交换的矩阵乘法下，$A$ 只能纯量阵，从而 $A=k{I}_n$，因此 $\phi$ 是纯量变换.

4.10. （例4.27）设 $A$, $B$ 都是数域 $F$ 上的 $m\times n$ 矩阵, 求证: 方程组 $Ax=0$, $Bx=0$ 同解的充要条件是存在可逆矩阵 $P$, 使得 $B=PA$.

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证明思路

• 必要性
  • 几何方法将问题转化成几何的语言即为：设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，$U$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $m$ 维线性空间，$\phi ,\psi :V\to U$ 是两个线性映射。求证：若 $\mathrm{Ker}\phi =\mathrm{Ker}\psi$，则存在 $U$ 上的自同构 $\sigma$，使得 $\psi =\sigma \phi$.
    1. 要熟悉这种不同语言的转换
    2. 可以试着总结两套不同语言下的工具的特点，比如代数下的相抵标准型，几何下的像与核的结论，基扩张等等
    3. 此题实际上是定义线性变换，再验证自同构，就满足存在性
  • 几何证明路径（定义映射）
    • 条件：设 $\text{r}(\phi )=r$，$\text{dim}\mathrm{Ker}\phi =\text{dim}\mathrm{Ker}\psi =n-r$
    • 子空间取基扩张：取 $\mathrm{Ker}\phi =\mathrm{Ker}\psi$ 的一组基 $\{e_{r+1},\cdots ,e_n\}$，扩张至全空间的一组基，$\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$，则 $\{\phi (e_1),\phi (e_2),\cdots ,\phi (e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\phi$ 的一组基，扩张至 $U$ 的一组基：$${{\varphi (e_{1}),\cdots,\varphi(e_{r}),f_{r+1},\cdots,f_{m}}} $$
    • 对于 $\mathrm{Im}\psi$ 重复以上操作，得到一组基 $${{\psi(e_{1}),\cdots,\psi(e_{r}),g_{r+1},\cdots,g_{m}}} $$
    • 定义 $\sigma (\phi (e_i))=e_i,(1⩽i⩽r)$，$\sigma (f_j)=g_j,(r+1⩽j⩽m)$
  • 代数证明路径（定义矩阵）
    • 具体方法：利用极大无关组理论，构造过渡矩阵，再构造分块矩阵
    • 线性方程组理论： $\text{dim}{V}_A=n-\text{r}(A)$
      • $Ax=0,Bx=0$ 同解 $⟹$ $\text{r}(A)=\text{r}(B)$
    • 构造：拼出行分块 $\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$（这是为了让 $A$ 与 $B$ 的行向量组产生联系），容易验证与上述同解，并且 $\text{r}\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)=r$，
    • 等价的描述：对 $A$ 或 $B$ 实施初等行变换不影响结论的证明（仔细一想就是如果最后要还原回 $A$ 和 $B$ ，因为 $P$ 可逆，那就只需要将所有初等行变换堆到 $P$ 身上即可）
      • 设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m{)}^{\prime },B=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m{)}^{\prime }$
    • 例3.20：只要知道秩，只要满足定义其一，就自动成为极大无关组
      • 取极大无关组 $\{{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r\},\{{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_r\}$
      • 令 ${\beta }_i=c_{11}{\alpha }_1+\cdots +c_{1r}{\alpha }_r$，$1⩽i⩽r$
      • 两组基之间能互相线性表示，从而构造了过渡矩阵 $C=(c_{ji})$
    • 针对 ${\beta }_i(r+1⩽r⩽m)$，就需要另外填充
      • 定义 ${\beta }_i=\sum _{j=1}^r{d}_{ir}{\alpha }_j+{\alpha }_i$，这样就同时构造出 $D$ 和 $I_{m-r}$
    • 即 $P=\left(\begin{array}{cc}C& O\\ D& I_{m-r}\end{array}\right)$.
• 充分性
  • 由于存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=PA$，则不论是 $Bx=0$ 的解还是 $PAx=0$ 的解，都互相适合，从而结论成立.

4.11. （例3.69，Frobenius不等式几何版本）设 $\phi :V_1\to V_2$, $\psi :V_2\to V_3$, $\theta :V_3\to V_4$ 是线性映射, 证明: $r(\theta \psi \phi )\ge r(\theta \psi )+r(\psi \phi )-r(\psi )$.

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证明思路

• 代数版本的证明
• 几何版本的证明
  • 可以看到不等式中含有同样被 $\theta$ 作用的两个映射，如果考虑 $\theta$ 所作用的子空间，那么可能会由于子空间的大小不同而导出差异，这可以通过维数公式进一步得到量化
  • 但是由于 $\theta$ 作用在这两个像空间上时，定义域是选定为 $V_3$，如果直接用维数公式，那么定义域维数就是 $\text{dim}{V}_4$，得不到靠近结论的信息，此时用限制定义域的技术，定义出 ${\theta }_1:\mathrm{Im}\psi \phi \to V_4$，${\theta }_2:\mathrm{Im}\psi \to V_4$
  • 这种限制会立刻让我们得到
    1. $\text{dim}\mathrm{Im}\psi \phi =\text{dim}\mathrm{Ker}{\theta }_1+\text{dim}\mathrm{Im}{\theta }_1$
    2. $\text{dim}\mathrm{Im}\psi =\text{dim}\mathrm{Ker}{\theta }_2+\text{dim}\mathrm{Im}{\theta }_2$
  • 由于 ${\theta }_1,{\theta }_2$ 保持映射规则，因此 $\mathrm{Im}{\theta }_1=\mathrm{Im}\theta \psi \phi$，$\mathrm{Im}{\theta }_2=\mathrm{Im}\theta \psi$，更新上式有
    1. $\text{dim}\mathrm{Im}\psi \phi =\text{dim}\mathrm{Ker}{\theta }_1+\text{dim}\mathrm{Im}\theta \psi \phi$
    2. $\text{dim}\mathrm{Im}\psi =\text{dim}\mathrm{Ker}{\theta }_2+\text{dim}\mathrm{Im}\theta \psi$
  • 此时两式左右两侧恰好都有 $4$ 个映射，只要能从核空间比较出大小关系，就可以完成推导，于是先考虑核空间
    • $\mathrm{Ker}{\theta }_1=\{x\in \mathrm{Im}\psi \phi \mid \theta (x)=0\}=\mathrm{Ker}\theta \cap \mathrm{Im}\psi \phi$，
    • $\mathrm{Ker}{\theta }_2=\{x\in \mathrm{Im}\psi \mid \theta (x)=0\}=\mathrm{Ker}\theta \cap \mathrm{Im}\psi$，
  • 注意到 $\mathrm{Im}\psi \phi \subseteq \mathrm{Im}\psi$，从而 $\text{dim}\mathrm{Ker}{\theta }_1⩽\text{dim}\mathrm{Ker}{\theta }_2$
  • 从而有 $\text{r}(\psi )-\text{r}(\theta \psi )⩾\text{r}(\psi \phi )-\text{r}(\theta \psi \phi )$ ，移项后结论成立.
• 提炼：定义的2个映射恰好能在维数公式下覆盖4个像空间，并通过核空间大小的比较联立了2个映射的关系式.