线性映射与矩阵

排序	内容
引理1	给定基就存在唯一的线性映射
定义2	表示矩阵
定理3	线性映射和表示矩阵之间存在一个线性同构，和一个交换图
定理4	线性映射的复合就是矩阵乘法（不同线性空间）
定理5	线性变换的复合就是矩阵乘法（同一线性空间）
推论6	线性变换全体构成的线性同构的性质
定理7	同一线性变换在不同基下的表示矩阵的关系
定义8	矩阵相似
命题9	矩阵相似的性质

引理1（在基向量上取值一样，则映射相等）

设有 $K$ 上的线性空间 $V$ 和 $U$ ， ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 是 $V$ 的一组基.
（1）如有 $V$ 到 $U$ 的线性映射 $φ$ 和 $ψ$ ，满足 $ψ (e_{i}) = φ (e_{i})$ ， $(i = 1, 2, \dots, n)$ ，则$$\psi=\varphi. $$
（2）给定 $U$ 中 $n$ 个向量 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ ，有且只有一个从 $V$ 到 $U$ 的线性映射 $φ$ ，满足 $φ (e_{i}) = β_{i}$ ， $(i = 1, 2, \dots, n)$ .

有了从 $V \to U$ 的线性映射，如果同样能利用坐标向量拼成类似的过渡矩阵，这样就可以像过渡矩阵一样在不同的基下表达同一个向量，而 表示矩阵 则是在不同的线性变换下表达同一个向量。我们发现如下对比

	基变换	线性映射
坐标向量	从旧基上得到坐标向量	从未映射的基上得到坐标向量
线性方程组形式	参考过渡矩阵	形式一样
形式行向量	$(f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}) = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}) A$	$(φ (e_{1}), φ (e_{2}), \dots, φ (e_{n})) = (f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}) A$
维数控制	强制方阵	允许 $m \times n$

定义2（表示矩阵）

设 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 的一组基， ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}}$ 是 $U$ 的基，又设 $φ$ 是 $V \to U$ 的线性映射且已知 $V$ 的基向量在 $φ$ 下的像，则 $φ (e_{1}), φ (e_{2}), \dots, φ (e_{n})$ 可用 $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{m}$ 下列线性组合表示：$$\begin{cases} \varphi(e_{1})=a_{11}f_{1}+a_{12}f_{2}+\cdots+a_{1m}f_{m}\\varphi(e_{2})=a_{21}f_{1}+a_{22}f_{2}+\cdots+a_{2m}f_{m}\\cdots\cdots\cdots\\varphi(e_{n})=a_{n1}f_{1}+a_{n2}f_{2}+\cdots+a_{nm}f_{m} \end{cases}\tag{1} $$ 上述表示式中 $f_{i}$ 的系数组成了一个元素在 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，这个矩阵的转置 $$ A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n{1}}\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n{2}} \\vdots&\vdots&&\vdots\a_{1m}&a_{2m}&\cdots&a_{n{m}} \end{pmatrix}\tag{2}$$称为从 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ 到 $φ (e_{1}), φ (e_{2}), \dots, φ (e_{n})$ 的 表示矩阵.

如果用坐标向量来推导出系数矩阵，就是线性方程组 $(1)$ 左右分别全部相加，不断合并同类项即可得到：$$\begin{align} \begin{pmatrix} \mu_{1}\ \mu_{2}\\vdots \ \mu_{m} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n_{1}} \ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n_{2}}\\vdots&\vdots&&\vdots\a_{1m}&a_{2m}&\cdots&a_{nm}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{1}\\lambda_{2}\\vdots\\lambda_{n} \end{pmatrix}\tag{3}\end{align}$$更进一步说明可参考坐标向量的说明

等价：表示矩阵的定义说明了 $(1)$ 和 $(3)$ 可以互推，给定 $(1)$ 不断展开即能得到 $(3)$ ；给定 $(3)$ ，取 $e_{1}$ 的坐标向量是 $(1, 0, \dots, 0)^{'}$ ，代入 $(3)$ 会得到新坐标向量 $(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1 m})^{'}$ ，用新基表示的坐标向量正是表示矩阵第一个列向量 $$\varphi(e_{1})=a_{11}f_{1} +a_{12}f_{2}+\cdots+a_{1m}f_{m}$$重复 $n$ 次就能得到 $(1)$ .

接上高等代数/4.线性映射/理论/线性映射的第二节的结论，也就是线性映射的全体构成线性空间，线性变换的全体构成数域 $K$ 上的代数。

结合上面的等价来看，一个线性映射对应一个矩阵，这种对应是否成立一个映射？进而是否双射？是否是线性的？也就是是否有如下映射：

T : L (V, U) \to M_{m \times n} (K) $ $ 其 中 $ L (V, U) $ 是 从 $ V $ 到 $ U $ 的 线 性 映 射 全 体 组 成 的 集 合 ， $ M_{m \times n} (K) $ 是 $ K $ 上 $ m \times n $ 矩 阵 全 体 组 成 的 集 合 . > [! t h m] 定 理 3 > 设 $ T $ 是 上 述 定 义 的 从 $ L (V, U) $ 到 $ M_{m \times n} (K) $ 的 映 射 ， 则 $ T $ 是 一 个 线 性 同 构 . 不 仅 如 此 ， $ η_{2} φ = φ_{A} η_{1} $ ， 即 如 图 所 示 的 交 换 图 . > $ $ \begin{matrix} V & \overset{φ}{\to} & U \\ η_{1} ↓ & ↓ η_{2} \\ K_{n} & \to_{φ_{A}}^{} & K_{m} \end{matrix}

证明思路

满足映射定义：从 $V$ 中任取一个线性映射 $φ$ ，总有唯一的表示矩阵 $A$ 与之对应（等价已解释）
满足满射：定义 $(1)$ 线性方程组，任取表示矩阵 $A$ ，都有原像（等价已解释）
满足单射：若有表示矩阵 $A = B$ ，则那么线性方程组 $(1)$ 的映射分别写成 $φ (e_{i})$ 和 $ψ (e_{i})$ ，由引理1（线性扩张定理，唯一性）可得 $φ = ψ$ .
验证线性性：
- 设 $φ, ψ$ 是 $V \to U$ 的线性映射，并且 $T (φ) = A, T (ψ) = B$
- 现验证 $T (φ + ψ) = T (φ) + T (ψ) = A + B$
  - 由高等代数/4.线性映射/理论/线性映射定义4，线性映射的运算是线性的，因此 $(φ + ψ) (e_{i}) = φ (e_{i}) + ψ (e_{i})$
  - 以线性方程组 $(1)$ 的方式还原出表示矩阵，会发现这就是 $A + B$ ，这就是 $T (φ) + T (ψ)$
- 验证 $T (k φ) = k T (φ)$ 也是通过高等代数/4.线性映射/理论/线性映射定义4来实现
验证交换性等价于验证 $η_{2} φ (e_{i}) = φ_{A} η_{1} (e_{i})$
- 先看左侧 $φ (e_{i}) = a_{i 1} f_{1} + a_{i 2} f_{2} + . . + a_{i m} f_{m}$
- 再看 $η_{2}$ 的作用，是将向量映射到坐标向量，即 $$\eta_{2}(\varphi(e_{i}))=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{i{m}}) $$
- 接着看右侧， $η_{1} (e_{i})$ 先映射成标准单位列向量
- 而 $φ_{A}$ 的作用是对标准单位列向量左乘 $A$ ，即取 $A$ 的第 $i$ 列，这恰好是左侧映射的坐标向量
  - 注意：此 $A$ 是 $φ$ 对 $e_{i}$ 作用下的系数矩阵转置.

定理4

同定理 3 的假设，设 $W$ 是 $K$ 上的线性空间， ${g_{1}, g_{2}, \dots, g_{p}}$ 是 $W$ 的一组基， $ψ \in L (U, W)$ ，则 $$T(\psi \varphi)=T(\psi)T(\varphi). $$

证明思路

怎么理解 $ψ φ$ ？考虑任取一个元素然后做复合运算：$$\begin{align} \psi(\varphi(\alpha))&=\psi(\lambda_{1} \varphi(e_{1})+\lambda_{2}\varphi(e_{2})+\cdots+\lambda_{n}\varphi(e_{n})) \&\overset{?}=\psi \begin{pmatrix} A(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})' \end{pmatrix} \&=BA(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})'\
&=B(A(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})' )\&=T(\psi)T(\varphi)(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})' \end{align}$$
上述步骤是用最直接的思路展开的，但是第一个等号不确定是否成立，至少能确定其中的展开过程是比较麻烦的，而绿皮书的思路是用表示矩阵的定义提前展开好 $φ$ 对 $α$ 和 $ψ (φ (α))$ 的坐标向量，然后将前者代入后者，得到最开始的坐标向量到复合后的坐标向量，这是直接在代数这一侧完成证明，从几何跨过来代数是直接用了表示矩阵的定义实现的.
绿皮书证明过程应该可以在脑海里直接完成.

定理5

设 $T : L (V) \to M_{n} (K)$ 是线性同构，并对任意的 $φ, ψ \in L (V)$ ，有 $$T(\psi \varphi)=T(\psi)T(\varphi), $$即 $T$ 保持了乘法.

推论6

设 $T : L (V) \to M_{n} (K)$ 是线性同构，则满足以下性质：
（1） $T (I_{V}) = I_{n}$ ；
（2） $φ$ 是 $V$ 上自同构的充分必要条件是 $T (φ)$ 为可逆阵且此时有 $$T(\varphi^{-1})=T(\varphi)^{-1}. $$

定理7

设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间， $φ \in L (V)$ ，又设 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 及 ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}$ 是 $V$ 的两组基且从 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 到 ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}$ 的过渡矩阵为 $P$ . 若 $φ$ 在基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 下的表示矩阵为 $A$ ，在基 ${f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}}$ 下的表示矩阵为 $B$ ，则 $$B=P^{-1}AP. $$

证明思路

此证明很好地验证对过渡矩阵和表示矩阵的理解是否有偏差，为了展示更清晰的证明过程和纠正理解错误，以图的方式展示：表示矩阵与过渡矩阵（图）

定义8（矩阵相似）

若 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵且存在 $n$ 阶非异阵 $P$ ，使得 $$B=P^{-1}AP, $$则称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A \approx B$ .

命题9

相似关系是一种等价关系，即
（1）自反性： $A \approx A$ ,
（2）传递性：若 $A \approx B$ ，则 $B \approx A$ ,
（3）传递性：若 $A \approx B$ ， $B \approx C$ ，则 $A \approx C$ .