线性映射的像与核

设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上线性空间 $V$ 到 $U$ 的线性映射，$\phi$ 的全体像元素组成 $U$ 的子集称为 $\phi$ 的像，记为 $\mathrm{Im}\phi$. 又 $V$ 中在 $\phi$ 映射为零向量的全体向量构成 $V$ 的子集，称为 $\phi$ 的核，记为 $\mathrm{Ker}\phi$.

设 $\phi$ 是线性空间 $V\to U$ 的线性映射，则 $\mathrm{Im}\phi$ 是 $U$ 的子空间，$\mathrm{Ker}\phi$ 是 $V$ 的子空间.

线性映射 $\phi$ 是满映射的充分必要条件是 $\text{dim}\mathrm{Im}\phi =\text{dim}U$；
线性映射 $\phi$ 是单映射的充分必要条件是 $\mathrm{Ker}\phi =\overrightarrow{0}.$

设 $\phi$ 是 $V\to U$ 的线性映射.
像空间 $\mathrm{Im}\phi$ 的维数称为 $\phi$ 的秩，记作 $\text{r}(\phi )$.
核空间 $\mathrm{Ker}\phi$ 的维数称为 $\phi$ 的零度.

设 $\phi :V\to U$ 为线性映射，$V^{\prime }\subseteq V,U^{\prime }\subseteq U$ 为子空间且满足 $\phi (V^{\prime })\subseteq U^{\prime }$，则通过定义域的限制可得线性映射 ${\phi }^{\prime }:V^{\prime }\to U^{\prime }$，使得 ${\phi }^{\prime }$ 与 $\phi$ 具有相同的映射法则. 进一步，若 $\phi$ 是单映射，则 ${\phi }^{\prime }$ 也是单映射.

设 $V,U$ 分别是数域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，又设 $\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\}$ 是 $V$ 的基，$\{f_1,f_2,\cdots ,f_m\}$ 是 $U$ 的基. 设 $\phi$ 是 $V\to U$ 的线性映射，它在给定基下的表示矩阵为 $A$ ，则 $$\text{dim}, \mathrm{Im}, \varphi = \text{r}(A) , ,\text{dim}, \mathrm{Ker},\varphi=n-\text{r}(A).$$

设 $\phi$ 是 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 到 $\mathbb{K}$ 上 $m$ 维线性空间 $U$ 的线性映射，则 $$\text{dim}, \mathrm{Ker}, \varphi + \text{dim}, \mathrm{Im}, \varphi = \text{dim}, V. $$

设 $\phi$ 是 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 到 $\mathbb{K}$ 上 $m$ 维线性空间 $U$ 的线性映射，$\phi$ 是满映射的充分必要条件是 $\text{r}(A)=m$，即表示矩阵 $A$ 是一个行满秩阵；$\phi$ 是单映射的充分必要条件是 $\text{r}(A)=n$，即 $A$ 是一个列满秩阵.

$n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 是可逆变换的充分必要条件是它是单映射或它是满映射.

$n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 是单映射（或满映射）的充分必要条件是它在 $V$ 的任意一组基下的表示矩阵是可逆阵.