不变子空间

排序	内容
定义1
定理2
推论3

定义1（不变子空间）

设 $φ$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $U$ 是 $V$ 的子空间，若 $U$ 适合条件 $$\varphi(U)\subseteq U $$则称 $U$ 是 $φ$ 的不变子空间（或 $φ -$ 不变子空间）.
这时把 $φ$ 的定义域限制在 $U$ 上，则 $φ$ 在 $U$ 上定义了一个线性变换，称为由 $φ$ 诱导出的线性变换，或称为 $φ$ 在 $U$ 上的限制，记为 $$\varphi|_{U}.$$

注意：在第四节证明的线性映射维数公式的 Step 1 就是要先证明不变子空间，才能诱导出受限制的线性映射，而此处是线性变换，有差异。

定理2（不变子空间的基扩充成上三角阵）

设 $U$ 是 $V$ 上线性变换 $φ$ 的不变子空间，且设 $U$ 的基为 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r}}$ . 将其扩充为 $V$ 的一组基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{r}, e_{r + 1}, \dots, e_{n}}$ ，那么 $φ$ 在这组基下的表示矩阵具有下列形状：

(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{r 1} & a_{r + 1, 1} & \dots & a_{n 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1 r} & \dots & a_{r r} & a_{r + 1, r} & \dots & a_{n r} \\ 0 & \dots & 0 & a_{r + 1, r + 1} & \dots & a_{n, r + 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & . . & 0 & a_{r + 1, n} & \dots & a_{n n} \end{matrix})

证明思路

根据表示矩阵的定义，以线性方程组形式列出 $φ$ 对扩充后的各个基向量的作用，会发现 $$\begin{align} \varphi(e_{i})&=a_{i1}e_{1}+\cdots+a_{ir}e_{r}+a_{i,r+1}e_{r+1}+\cdots+a_{n}e_{n} \ &=a_{i1}e_{1}+\cdots+a_{ir}e_{r}+0e_{r+1}+\cdots+0e_{n} \&\forall i (1\leqslant i \leqslant r) \end{align}$$即后 $n - r$ 个系数为零，这是因为对 $U$ 中的向量作用后仍然要留在 $U$ 中，而后 $n - r$ 个基向量如果不为零就会掉出 $U$ .

推论3（不变子空间且直和下的分块对角阵）

设 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ 且 $V_{1}, V_{2}$ 都是线性变换 $φ$ 的不变子空间，又 ${e_{1}, \dots, e_{r}}$ 是 $V_{1}$ 的基， ${e_{r + 1}, \dots, e_{n}}$ 是 $V_{2}$ 的基，则 $φ$ 在基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 下的表示矩阵为分块对角阵 $$
\begin{pmatrix} A_{1} & O \ O & A_{2} \end{pmatrix}$$其中 $A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵， $A_{2}$ 为 $n - r$ 阶方阵.
进一步也能推广到 $m$ 个分块的对角阵：

(\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ ⋱ \\ A_{m} \end{matrix})

例4.5.4：设 $V$ 是数域 $K$ 上的三维空间， ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 是 $V$ 的基， $φ$ 是 $V$ 上的线性变换，它在这组基下的表示矩阵为 $$\begin{pmatrix} 3&1&-1\ 2&2&-1\2&2&0 \end{pmatrix} $$求证：由向量 ${e_{3}, e_{1} + e_{2} + 2 e_{3}}$ 生成的子空间 $U$ 是 $φ$ 的不变子空间.
解：逐一验证在 $φ$ 的作用下的基向量是否还在 $U$ 中.